무리수의 발견 - 피타고라스의 정리

  (피타고라스 혹은 그의 제자들이 발견한 피타고라스 정리가 피타고라스를 커다란 혼란에 빠트렸음을 보여주는 글.

  버트런드 러셀의 [서양 철학사]에서 인용.)

피타고라스 혹은 그의 직계 제자들의 가장 큰 발견은 직각 삼각형에 관한 명제, 즉 직각과 인접하는 변들의 제곱의 합은 나머지 한 변, 그러니까 빗변의 제곱과 같다는 것이다. 각변이 3, 4, 5인 삼각형이 직각 삼각형이라는 것은 이집트 인들이 알았으나, + = 라는 것을 처음으로 관찰한 것은 분명 그리스 인들이었으며, 이 사실에 착안하여, 일반 명제의 증명을 발견하게 되었다.

피타고라스로 봐서는 불행하게도, 그의 정리(theorem)가 곧바로 약분할 수 없는 수(역주:무리수)의 발견으로 이어졌고, 이 사실은 그의 전 철학이 그릇되었음을 입증하는 듯이 보였다. 직각 이등변 삼각형의 경우, 빗변의 제곱은 각변의 제곱의 두 배이다(역주: 이등변 삼각형이니까 당연한 말이다). 그렇다면 각변이 1인치라고 상정을 해보자: 이 때 빗변의 길이는 얼마인가? 그 길이가 m/n이라고 가정하자. 그렇다면 / =2이다. 만일 m과 n에 공약수가 있다면 나눠나가도록 하자. 그러면 m 이나 n 둘 중에 하나는 홀수일 것이다(역주:물론 둘 다 홀수라고 생각을 해볼 수도 있다). 따라서 = 이고, 당연히 은 짝수이다. 물론 m도 짝수이다; 따라서 n은 홀수이다. 그 다음 m=2p라고 가정을 해보자. 그러면 4 = 이다. 따라서 =2 이고, 당연히 n은 짝수이다. 결국 가정은 모순에 봉착하게 되고 만다. 따라서 어떤 분수 m/n도 빗변을 잴 수가 없다. 이 증명은 유클리드 제 10권의 주된 내용이다. (35--36)

 

(이 사실과 다른 여타 해명 불가능한 문제들로 피타고라스는 신비주의적이고 종교적인 입장에 빠져들었고, 플라톤 또한 이러한 신비주의적이고 종교적인 입장을 받아들였으며, 이러한 입장이 서구 기독교의 전통으로 이어지고 있다고 러셀은 파악하고 있는 듯함.) 

 [영어 원문]

The greatest discovery of Pythagoras, or of his immediate disciples, was the proposition about right-angled triangles, that the sum of the squares on the sides adjoining the right angle is equal to the square on the remaining side, the hypotenuse. The Egyptians had known that a triangle whose side are 3, 4, 5 has a right angle, but apparently the Greeks were the first to observe that + = , and acting on this suggestion, to discover a poof of the general proposition.

Unfortunately for Pythagoras, his theorem led at once to the discovery of incommensurables, which appeared to disprove his whole philosophy. In a right-angled isosceles triangle, the square on the hypotenuse is double of the square on either side. Let us suppose each side an inch long; then how long is the hypotenuse? Let us suppose its length is m/n inches. Then / =2. If m and n have a common factor, divide it out; then either m or n must be odd. Now = , therefore is even. therefore m is even; therefore n is odd. Suppose m=2p. Then 4 = , therefore =2 and therefore n is even, contra hyp. Therefore no fraction m/n will measure the hypotenuse. The above proof is substantially that in Euclid, Book X. (35--36)